Кинематический анализ планетарного механизма методом Л. П. Смирнова

Приступаем к определению передаточного отношения планетарного механизма графическим методом Л. П. Смирнова. Для этого вы уже должны были провести проектирование редуктора.

Рассмотрим построение схемы на чертеже в масштабе. Можно сразу перейти к алгоритму для нужного редуктора:

Однорядный
Двухрядный со смешанным зацеплением
Двухрядный с двумя внутренними зацеплениями
Двухрядный с двумя внешними зацеплениями

Задаем систему координат, в которой по оси Oy откладываются линейные величины в м, а по оси Ox - скорости в м/с. В этой системе координат для твердых тел строятся линии распределения скоростей, которые могут быть найдены по двум известным точкам. Кроме того, построение проводить проще, если принять модуль колес планетарного механизма равным $1$. В этом случае:

$$r_i=m\cdot Z_i=Z_i$$

Масштаб для оси Oy рассчитывается по формуле:

$$\mu_l=\dfrac{l_{r_i}}{r_i}$$

Где:

$l_{r_i}$ - радиус делительной окружности i-го колеса, изображенного на чертеже;
$r_i$ - реальный радиус делительной окружности i-го колеса.

Масштаб для оси Ох рассчитывается как:

$$\mu_v=\dfrac{l_{V_i}}{V_i}=\dfrac{l_{V_i}}{\omega_i\cdot r_i}$$

Где:

$l_{V_i}$ - отрезок вдоль оси Ох, характеризующий линейную скорость на делительной окружности i-го колеса;
$V_i$ - линейная скорость точки на делительной окружности i-того колеса;
$\omega_i$ - угловая скорость i-того колеса;

Так как метод справедлив для любого значения угловой скорости ведущего звена $\omega_1$ или $\omega_h$, то целесообразно выбрать такое значение, которое позволит выполнить построение без загромождения чертежа.

Постановка масштабов является технически грамотным действием, но в рамках метода Смирнова не несет практического смысла и требуется не всегда.

Приведем пример:

Пример определения масштабов в методе Смирнова

Число зубьев солнечного колеса 1 $Z_1=21$, на чертеже длина отрезка 10 мм, тогда:

$$\mu_l=\dfrac{10\;мм}{21\cdot 1\;мм}=476.19\; \dfrac{мм}{м}$$

Масштаб выбираем из ряда ГОСТ:

$$\mu_l=500\;\dfrac{мм}{м}$$

Пересчитываем длину отрезка радиуса солнечного колеса:

$$l_{r_1}=\mu_l\cdot Z_1 \cdot m=500\;\dfrac{мм}{м}\cdot21\cdot 1\;мм=10.5\;мм$$

Линейная скорость точки $A$, лежащей на делительной окружности солнечного колеса, на чертеже выражена отрезком длиной 50 мм, тогда:

$$\mu_v=\dfrac{50\;мм}{\omega_1\cdot r_1}=\dfrac{50\;мм}{\omega_1\cdot Z_1\cdot m}=\dfrac{50\;мм}{1\; c^{-1}\cdot 21 \cdot 1\;мм}=2.38$$

Принимаем:

$$\mu_v=2.5\;\dfrac{мм}{м\cdot c^{-1}}$$

Пересчитанная длина линейной скорости точки $A$ на чертеже:

$$l_{V_A}=\mu_v\cdot1\; c^{-1}\cdot 21 \cdot 1\;мм=52.5\;мм$$

После определения масштабных коэффициентов приступаем к нахождению передаточных отношений для каждой схемы планетарных редукторов.

Однорядный планетарный редуктор

Проводится линия распределения скоростей, под углом, соответствующим рассчитанному отрезку линейной скорости точки $A$.
Проводится скорость точки $A$, обозначается точка $A'$.
Для нахождения линии распределения скоростей по сателлитам необходимо определить 2 точки. Так как мгновенные скорости солнечного колеса 1 и сателлита 2 в точке $A'$ равны, то одна точка на данный момент известна. Вторую точку определим из условия, что корона (эпицикл) остановлена, поэтому мгновенная скорость точки С для короны и сателлита равна нулю. По полученным точкам $A'$ и $C$ проводится линия распределения скоростей по сателлиту 2.
Определяется скорость точки $B$, принадлежащей сателлиту.
Проводится скорость точки $B$, обозначается точка $B'$.
Для нахождения линии распределения скоростей по водилу h необходимо 2 точки. Так как точка $B$ принадлежит сателлиту и водилу, то мгновенные скорости в них равны. Вторая точка находится из условия, что водило соосно с солнечным колесом, поэтому при $r=0$ скорость также будет равна $0$.
Проводится линия распределения по водилу через найденные точки.
Передаточное отношения вычисляется по формуле, с учетом общего катета $OA$:
$$U_{1h}=\dfrac{\omega_1}{\omega_h}=\dfrac{\psi_1}{\psi_h}=\dfrac{AA'}{AA''}$$
Находится погрешность определения передаточного отношения графическим методом относительно аналитической зависимости:
$$U_{1h}^3=1+\dfrac{Z_3}{Z_1}$$

Используя переключатели, вы можете увидеть графическую интерпретацию алгоритма нахождения передаточного отношения.

Этапы

Выбирайте этап, нажав на квадратик слева.

Распределение скоростей по колесу 1 Скорость точки А Распределения скоростей по сателлиту 2 Скорость точки В Распределения скоростей по водилу h

Ползунок изменяет размер редуктора

Двухрядный планетарный редуктор со смешанным зацеплением

Проводится линия распределения скоростей, под углом, соответствующим рассчитанному отрезку линейной скорости точки $A$.
Проводится скорость точки $A$, обозначается точка $A'$.
Для нахождения линии распределения скоростей по сателлитам необходимо определить 2 точки. Так как мгновенные скорости солнечного колеса 1 и сателлита 2 в точке $A'$ равны, то одна точка на данный момент известна. Вторую точку определим из условия, что корона (эпицикл) остановлена, поэтому мгновенная скорость точки С для короны и сателлита равны нулю. По полученным точкам $A'$ и $C$ проводится линия распределения скоростей по сателлитам 2 и 3.
Определяется скорость точки $B$, принадлежащей сателлиту.
Проводится скорость точки $B$, обозначается точка $B'$.
Для нахождения линии распределения скоростей по водилу h необходимо 2 точки. Так как точка $B$ принадлежит сателлиту и водилу, то мгновенные скорости в них равны. Вторая точка находится из условия, что водило соосно с солнечным колесом, поэтому при $r=0$ скорость также будет равна $0$.
Проводится линия распределения по водилу через найденные точки.
Передаточное отношения вычисляется по формуле, с учетом общего катета $OA$:
$$U_{1h}=\dfrac{\omega_1}{\omega_h}=\dfrac{\psi_1}{\psi_h}=\dfrac{AA'}{AA''}$$
Находится погрешность определения передаточного отношения графическим методом относительно аналитической зависимости:
$$U_{1h}^4=1+\dfrac{Z_2\cdot Z_4}{Z_1\cdot Z_3}$$

Этапы

Выбирайте этап, нажав на квадратик слева.

Распределение скоростей по колесу 1 Скорость точки А Распределения скоростей по сателлитам 2 и 3 Скорость точки В Распределения скоростей по водилу h

Ползунок изменяет размер редуктора

Двухрядный планетарный редуктор с двумя внутренними зацеплениями

Проводится линия распределения скоростей, под углом, соответствующим рассчитанному отрезку линейной скорости точки $A$.
Проводится скорость точки $A$, обозначается точка $A'$.
Для нахождения линии распределения скоростей по сателлитам необходимо определить 2 точки. Так как мгновенные скорости короны 1 и сателлита 2 в точке $A'$ равны, то одна точка на данный момент известна. Вторую точку определим из условия, что корона 4 остановлена, поэтому мгновенная скорость точки С для короны 4 и сателлита 3 равны нулю. По полученным точкам $A'$ и $C$ проводится линия распределения скоростей по сателлитам 2 и 3.
Определяется скорость точки $B$, принадлежащей сателлитам 2 и 3.
Проводится скорость точки $B$, обозначается точка $B''$.
Для нахождения линии распределения скоростей по водилу h необходимо 2 точки. Так как точка $B$ принадлежит сателлиту и водилу, то мгновенные скорости в них равны. Вторая точка находится из условия, что водило соосно с короной 1, поэтому при $r=0$ скорость также будет равна $0$.
Проводится линия распределения по водилу через найденные точки.
Передаточное отношения вычисляется по формуле, с учетом общего катета $OA$:
$$U_{1h}=\dfrac{\omega_1}{\omega_h}=\dfrac{\psi_1}{\psi_h}=\dfrac{BB''}{BB'}$$
Находится погрешность определения передаточного отношения графическим методом относительно аналитической зависимости:
$$U_{1h}^4=1-\dfrac{Z_2\cdot Z_4}{Z_1\cdot Z_3}$$

Этапы

Выбирайте этап, нажав на квадратик слева.

Ползунок изменяет размер редуктора

Двухрядный планетарный редуктор с двумя внешними зацеплениями

Проводится линия распределения скоростей под углом, соответствующим рассчитанному отрезку линейной скорости точки $A$.
Проводится скорость точки $A$, обозначается точка $A'$.
Для нахождения линии распределения скоростей по сателлитам необходимо определить 2 точки. Так как мгновенные скорости колеса 1 и сателлита 2 в точке $A$ равны, то одна точка на данный момент известна. Вторую точку определим из условия, что колесо 4 остановлено, поэтому мгновенная скорость точки С для колеса 4 и сателлита 3 равна нулю. По полученным точкам $A'$ и $C$ проводится линия распределения скоростей по сателлитам 2 и 3.
Определяется скорость точки $B$, принадлежащей сателлитам 2 и 3.
Проводится скорость точки $B$, обозначается точка $B''$.
Для нахождения линии распределения скоростей по водилу h необходимо 2 точки. Так как точка $B$ принадлежит сателлиту и водилу, то мгновенные скорости в них равны. Вторая точка находится из условия, что водило соосно с короной 1, поэтому при $r=0$ скорость также будет равна $0$.
Проводится линия распределения по водилу через найденные точки.
Передаточное отношения вычисляется по формуле, с учетом общего катета $OA$:
$$U_{1h}=\dfrac{\omega_1}{\omega_h}=\dfrac{\psi_1}{\psi_h}=\dfrac{AA'}{AA''}$$
Находится погрешность определения передаточного отношения графическим методом относительно аналитической зависимости:
$$U_{1h}^4=1-\dfrac{Z_2\cdot Z_4}{Z_1\cdot Z_3}$$

Этапы

Выбирайте этап, нажав на квадратик слева.

Ползунок изменяет размер редуктора

На этом этапе мы рассмотрели, как происходит определение передаточного отношения планетарных механизмов методом Л. П. Смирнова графически. Такой подход возможно применить для любых планетарных механизмов, включая дифференциалы.

Кроме того, при проведении расчета в калькуляторе, вы можете построить планетарный механизм на чертеже с найденным передаточным отношением графическим методом в автоматическом режиме.