Метрический синтез рычажного механизма

На данном этапе необходимо поставить цель первого листа проекта:

На первом листе курсового проекта необходимо определить закон движения звена приведения.

Найти закон движения значит определить зависимость угловой скорости $\omega_1$ начального звена 1 как функцию обобщенной координаты.

$\omega_1(\varphi) = f(\varphi)$

Для выполнения поставленной цели необходимо прежде всего установить кинематические характеристики движения механизма, но это невозможно сделать, не зная всех длин звеньев механизма. Поэтому первым этапом проводится метрический синтез механизма.

Метрический синтез - нахождение всех неизвестных длин звеньев механизма по известным исходным данным.

Для более глубоко понимания рекомендуем ознакомиться с основными терминами, применяемыми при выполнении метрического синтеза.

Синтез кривошипно-ползунного механизма

Во всех сборниках наиболее распространенным является кривошипно-ползунный механизм. Этот механизм известен с III века нашей эры и человечество давно научилось его рассчитывать.

Кривошипно-ползунный механизм применяется для преобразования вращательного движения кривошипа 1 в возвратно-поступательное движение ползуна 3 или наоборот возвратно-поступательное движение ползуна во вращательное движение кривошипа.

Кривошипно-ползунный механизм

Метрический синтез может быть проведен по различным исходным данным, например:

по средней скорости ползуна и частоте вращения коленчатого вала;
по заданному ходу ползуна для центрального механизма;
по двум заданным положениям кривошипа и соответствующему им перемещению ползуна;
по ходу ползуна, длине кривошипа и углу давления в предельном положении;
по ходу ползуна, смещению направляющей и коэффициенту изменения скорости ползуна.

Наиболее распространенный метод синтез по средней скорости и частоте вращения коленчатого вала. На сайте имеются онлайн-калькуляторы для синтеза кривошипно-ползунного механизма по любым исходным данным. Это удобно, если нет возможности воспользоваться компьютером.

Для проведения дальнейших расчетов рекомендуется применять математический комплекс Mathcad. Линейка Prime не так хорошо подходит для серьезных инженерных расчетов, как более ранние версии, включая 15. В них имеется возможность гибкой настройки графиков, подключения сторонних библиотек и много другое. Рекомендуемая версия - Mathcad 15.

На данной странице помещены mathcad-файлы с алгоритмом проведения метрического синтеза кривошипно-ползунного механизма, также имеется pdf-файл для удобства просмотра.

Рассмотрим принцип синтеза кривошипно-ползунного механизма по средней скорости ползуна и частоте вращения коленчатого вала.

Средняя скорость представляет собой такую величину скорости, которую имел бы ползун, если бы двигался равномерно без замедления и остановок в мертвых точках.
Частота вращения коленчатого вала показывает, какое количество оборотов совершает кривошип вокруг неподвижной оси в единицу времени.
За один полный оборот кривошипа ползун совершает двойной ход, т. е. перемещается от одной мертвой точки к другой, а потом возвращается обратно. Убедитесь сами:
Двойной ход поршня за один оборот коленчатого вала
Следовательно, если найти время одного полного оборота, то можно связать среднюю скорость и ход ползуна. Время одного полного оборота - величина обратная частоте вращения коленчатого вала - период.
Тогда, обозначит ход ползуна как H, период T, частоту вращения коленчатого вала - n, длина кривошипа - R:
Средняя скорость поршня:

$$V_{ср}=\frac{2\cdot H}{T}$$

Период:

$$T=\frac{1}{n}$$

Тогда:

$$V_{ср}=2\cdot H\cdot n$$
Откуда:
$$H=\frac{V_{ср}}{2\cdot n}$$

Учитывая, что ход поршня (если данный факт не очевиден - посмотрите анимацию выше, максимальный вылет, который может быть, обеспечивается за счет крайнего левого и правого положения кривошипа):

$$H=2\cdot R$$

Длина кривошипа:

$$R=\frac{V_{ср}}{4\cdot n}$$
Используя геометрические соотношения, связывающие длины шатуна и кривошипа, штока и кривошипа, находятся остальные длины звеньев.

Для синтеза кривошипно-ползунного механизма по двум положениям применяется метод проекций.

В качестве исходных данных имеем:

угловую координату кривошипа в начальном положении $\varphi_{1н}$;
угловую координату кривошипа в конечном положении положении $\varphi_{1к}$;
перемещение ползуна $h_C$;
относительную внеосность $e$;
относительную длину шатуна $\lambda_2$;

Два положения механизма

Рассмотри схему и составим систему из 7 уравнений с 7 неизвестными. Обозначим:

$l_1$ - длина кривошипа;
$l_2$ - длина шатуна;
$e$ - относительная внеосность;
$\upsilon_1, \upsilon_2$ - углы давления, соответствующие двум заданным положениям, отсчитываемые от горизонтали Ох

Составим уравнения:

Проекция точек механизма на ось Ох в начальном положении
$$l_1\cdot\cos(\varphi_{1н})+l_2\cdot\cos(\upsilon_1)=X_{C1}$$

Начальное положение. Проекция на ось Ох.
Проекция точек механизма на ось Оy в начальном положении
$$l_1\cdot\sin(\varphi_{1н})+l_2\cdot\sin(\upsilon_1)=e$$

Начальное положение. Проекция на ось Оy.
Проекция точек механизма на ось Ох в конечном положении
$$l_1\cdot\cos(\varphi_{1к})+l_2\cdot\cos(\upsilon_2)=X_{C2}$$

Конечное положение. Проекция на ось Ох.
Проекция точек механизма на ось Оy в конечном положении
$$l_1\cdot\sin(\varphi_{1к})+l_2\cdot\sin(\upsilon_2)=e$$

Конечное положение. Проекция на ось Оy.
Связь длины шатуна и длины кривошипа
$$l_2=\lambda_2\cdot l_1$$
Связь внеосности и длины кривошипа
$$e=\lambda_2\cdot l_1$$
Ход ползуна по определению
$$h_C=X_{C1}-X_{C2}$$

Решая систему уравнений:

$$\begin{equation*} \begin{cases} l_1\cdot\cos(\varphi_{1н})+l_2\cdot\cos(\upsilon_1)=X_{C1}, \\ l_1\cdot\sin(\varphi_{1н})+l_2\cdot\sin(\upsilon_1)=e, \\ l_1\cdot\cos(\varphi_{1к})+l_2\cdot\cos(\upsilon_2)=X_{C2}, \\ l_1\cdot\sin(\varphi_{1к})+l_2\cdot\sin(\upsilon_2)=e, \\ l_2=\lambda_2\cdot l_1, \\ e=\lambda_2\cdot l_1, \\ h_C=X_{C1}-X_{C2}, \end{cases} \end{equation*}$$

находим все неизвестные величины:

$$l_1; l_2; \upsilon_1; \upsilon_2; e; X_{C1}; X_{C2}$$

Метрический синтез для других механизмов проводится аналогично методом проекций. Для удобства расчета калькуляторы созданы в среде Mathcad, их можно найти на странице.