Составление функций положения точек звеньев рычажного механизма
Основной целью данного этапа курсового проекта является нахождение передаточных функций. Для этого находятся аналитические функции положения точек звеньев механизма, а затем рассчитываются первые производные по обобщенной координате для определения передаточных отношений скоростей точек и звеньев и вторая производная по обобщенной координате для определения передаточных отношений ускорений точек и звеньев. Это следует из определений.
Рассмотрим наиболее распространенные схемы механизмов и составим для них аналитические функции положения.
К этому этапу для любого механизма известны:
- длины всех звеньев
- начало отсчета обобщенной координаты
- направление вращения коленчатого вала
Для данной схемы закон изменения обобщенной координаты записывается следующим образом:
где:
- \(\varphi\) - переменная, принимающая значения \([0;2\pi]\) или \([0;4\pi]\);
- \(\varphi_0\) - начальное значение обобщенной координаты;
- \(\omega_{q1}\) - направление вращения кривошипа, \(-1\) при вращении по часовой стрелке и \(1\) при вращении против часов стрелки;
Аналитические функции положения
Кривошипно-ползунный механизм
Рассмотрим горизонтальную конфигурацию, ориентированную вправо.
Точка А покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:
Точка В движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке А, поэтому:
Для определения координаты точки С, рассмотрим иллюстрацию:
В прямоугольном треугольнике \(BCX_B\), один из катетов совпадает с ординатой точки В, а гипотенуза равна длине шатуна 2. Определим синус этого угла, а затем сам угол:
Зная угол \(\varphi_2\), легко вычислить проекцию шатуна на ось Ох и определить координаты точки С. Учтем, что механизм соосный, и направляющая ползуна совпадает с осью Ох. Тогда:
Положение центра масс \(S_2\) находится по аналогии:
Положение точки D можно определить, если вспомнить определение движения твердого тела, исходя из которого, все точки этого тела движутся по одной траектории. Тогда:
Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для кривошипно-ползунного механизма можно найти на странице калькулятора.
Четырехшарнирный механизм
Точка А покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:
Точка В движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке А, поэтому:
Точка D, как и точка А, покоится и принадлежит шарниру стойки, и имеет координаты:
Для нахождения координаты точки C определим, что, с одной стороны, она совершает качательное движение по дуге окружности с центром в точке D радиусом, равным длине коромысла \(l_{DC}\), с другой, совершает сложное движение относительно точки B.
Введем дополнительный вектор DB, и, зная координаты точки B и D, вычислим его длину:
Теперь найдем угол \(\gamma(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через вектор DB, например, с применением встроенной функции Mathcad \(angle\):
Рассмотрим треугольник CDB, в котором известны длина коромысла \(l_3\), длина шатуна \(l_2\), длина вектора DB \(l_{DB}\). Применим теорему косинусов и выразим угол \(\psi(\varphi)\):
Найденные углы позволяют найти угол \(\varphi_3(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через текущее положение коромысла:
Тогда координаты точки С находятся:
Положение центра масс \(S_3\) находится аналогично:
Для нахождения положения центра масс \(S_2\) необходимо определить угол \(\varphi_2(\varphi)\):
Тогда:
Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для четырехшарнирного механизма можно найти на странице калькулятора.
В заключении рассмотри шестизвенный механизм. Для механизма с качающейся кулисой алгоритм аналогичен с четырехшарнирным и шестизвенным механизмами, кроме того, этот расчет есть в разделе калькуляторы.
Шестизвенный механизм
Точка О покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:
Точка A движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке O, поэтому:
Точка D покоится, является осью вращения коромысла 3 и принадлежит шарниру стойки. Ее координаты:
Точка B двигается по дуге окружности относительно точки D. Для нахождения координат точки B введем дополнительный вектор DA и определим его длину \(h_3\) в зависимости от обобщенной координаты:
Определим угол \(\varphi_3\) между горизонталью и введенным вектором:
Тогда координаты точки B:
Точка С совершает возвратно-поступательное движение по вертикали, проходящей через точку D, поэтому:
Для определение координаты точки С по оси ординат вводим угол \(\varphi_4(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через текущее положение шатуна:
Тогда:
Если точка С принадлежит твердому телу, и в исходных данных указан вылет резца, тогда координаты точки \(S_5\):
Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для четырехшарнирного механизма можно найти на странице калькулятора.