2 дня скидок!
13 и 14 декабря скидка 15% на все построения!
промокод: tubus15

Тубуса.нет

Составление функций положения точек звеньев рычажного механизма

Основной целью данного этапа курсового проекта является нахождение передаточных функций. Для этого находятся аналитические функции положения точек звеньев механизма, а затем рассчитываются первые производные по обобщенной координате для определения передаточных отношений скоростей точек и звеньев и вторая производная по обобщенной координате для определения передаточных отношений ускорений точек и звеньев. Это следует из определений.

Рассмотрим наиболее распространенные схемы механизмов и составим для них аналитические функции положения.

К этому этапу для любого механизма известны:

  • длины всех звеньев
  • начало отсчета обобщенной координаты
  • направление вращения коленчатого вала

Для данной схемы закон изменения обобщенной координаты записывается следующим образом:

$$\varphi_1(\varphi)=\varphi_0+\varphi\cdot\omega_{q1},$$

где:

  • \(\varphi\) - переменная, принимающая значения \([0;2\pi]\) или \([0;4\pi]\);
  • \(\varphi_0\) - начальное значение обобщенной координаты;
  • \(\omega_{q1}\) - направление вращения кривошипа, \(-1\) при вращении по часовой стрелке и \(1\) при вращении против часов стрелки;

Аналитические функции положения

Кривошипно-ползунный механизм

Рассмотрим горизонтальную конфигурацию, ориентированную вправо.

Горизонтальный кривошипно-ползунный механизм
Горизонтальный кривошипно-ползунный механизм

Точка А покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:

$$X_A = 0;\;Y_A=0$$

Точка В движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке А, поэтому:

$$X_B(\varphi)=X_A+l_1\cdot\cos(\varphi_1(\varphi))$$
$$Y_B(\varphi)=Y_A+l_1\cdot\sin(\varphi_1(\varphi))$$

Для определения координаты точки С, рассмотрим иллюстрацию:

Определение угла фи2
Определение угла \(\varphi_2\)

В прямоугольном треугольнике \(BCX_B\), один из катетов совпадает с ординатой точки В, а гипотенуза равна длине шатуна 2. Определим синус этого угла, а затем сам угол:

$$\sin(\varphi_2(\varphi))=\frac{Y_B(\varphi)-Y_A}{l_2};\;\;\varphi_2(\varphi)=arcsin\left(\frac{Y_B(\varphi)-Y_A}{l_2}\right)$$

Зная угол \(\varphi_2\), легко вычислить проекцию шатуна на ось Ох и определить координаты точки С. Учтем, что механизм соосный, и направляющая ползуна совпадает с осью Ох. Тогда:

$$X_C(\varphi)=X_B(\varphi)+l_2\cdot\cos(\varphi_2(\varphi))$$
$$Y_C=Y_A$$

Положение центра масс \(S_2\) находится по аналогии:

$$X_{S_2}(\varphi)=X_B(\varphi)+l_{S2}\cdot\cos(\varphi_2(\varphi))$$
$$Y_{S_2}(\varphi)=Y_B(\varphi)+l_{S2}\cdot\sin(\varphi_2(\varphi))$$

Положение точки D можно определить, если вспомнить определение движения твердого тела, исходя из которого, все точки этого тела движутся по одной траектории. Тогда:

$$X_D(\varphi)=X_C(\varphi)+l_3$$
$$Y_D=Y_C$$

Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для кривошипно-ползунного механизма можно найти на странице калькулятора.

Четырехшарнирный механизм

Четырехшарнирный механизм
Четырехшарнирный механизм

Точка А покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:

$$X_A = 0;\;Y_A=0$$

Точка В движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке А, поэтому:

$$X_B(\varphi)=X_A+l_1\cdot\cos(\varphi_1(\varphi))$$
$$Y_B(\varphi)=Y_A+l_1\cdot\sin(\varphi_1(\varphi))$$

Точка D, как и точка А, покоится и принадлежит шарниру стойки, и имеет координаты:

$$X_D = X_A+l_{AD};\;Y_D=Y_A+l_{AD_y}$$

Для нахождения координаты точки C определим, что, с одной стороны, она совершает качательное движение по дуге окружности с центром в точке D радиусом, равным длине коромысла \(l_{DC}\), с другой, совершает сложное движение относительно точки B.

Введем дополнительный вектор DB, и, зная координаты точки B и D, вычислим его длину:

$$l_{DB}(\varphi)=\sqrt{(X_B(\varphi)-X_D)^2+(Y_B(\varphi)-Y_D)^2)}$$

Теперь найдем угол \(\gamma(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через вектор DB, например, с применением встроенной функции Mathcad \(angle\):

$$\gamma(\varphi)=angle(X_B(\varphi)-X_D, Y_B(\varphi)-Y_D)$$

Рассмотрим треугольник CDB, в котором известны длина коромысла \(l_3\), длина шатуна \(l_2\), длина вектора DB \(l_{DB}\). Применим теорему косинусов и выразим угол \(\psi(\varphi)\):

$$\psi(\varphi)=arccos\left(\frac{l_{DB}(\varphi)^2+l_3^2-l_2^2}{2\cdot l_{DB}(\varphi)\cdot l_3}\right)$$

Найденные углы позволяют найти угол \(\varphi_3(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через текущее положение коромысла:

$$\varphi_3(\varphi)=\gamma(\varphi)-\psi(\varphi)$$

Тогда координаты точки С находятся:

$$X_C(\varphi)=X_D+l_3\cdot\cos(\varphi_3(\varphi))$$
$$Y_C(\varphi)=Y_D+l_3\cdot\sin(\varphi_3(\varphi))$$

Положение центра масс \(S_3\) находится аналогично:

$$X_{S_3}(\varphi)=X_D+l_{3S}\cdot\cos(\varphi_3(\varphi))$$
$$Y_{S_3}(\varphi)=Y_D+l_{3S}\cdot\sin(\varphi_3(\varphi))$$

Для нахождения положения центра масс \(S_2\) необходимо определить угол \(\varphi_2(\varphi)\):

$$\varphi_2(\varphi)=angle(X_C(\varphi)-X_B(\varphi), Y_C(\varphi)-Y_B(\varphi))$$

Тогда:

$$X_{S_2}(\varphi)=X_B+l_{2S}\cdot\cos(\varphi_2(\varphi))$$
$$Y_{S_2}(\varphi)=Y_B+l_{2S}\cdot\sin(\varphi_2(\varphi))$$

Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для четырехшарнирного механизма можно найти на странице калькулятора.

В заключении рассмотри шестизвенный механизм. Для механизма с качающейся кулисой алгоритм аналогичен с четырехшарнирным и шестизвенным механизмами, кроме того, этот расчет есть в разделе калькуляторы.

Шестизвенный механизм

Шестизвенный механизм
Шестизвенный механизм

Точка О покоится и принадлежит шарниру стойки, совпадает с началом координат, поэтому:

$$X_O = 0;\;Y_O=0$$

Точка A движется по окружности, радиус которой равен длине кривошипа, а центр лежит в точке O, поэтому:

$$X_A=X_O+l_1\cdot\cos(\varphi_1(\varphi))$$
$$Y_A=Y_O+l_1\cdot\sin(\varphi_1(\varphi))$$

Точка D покоится, является осью вращения коромысла 3 и принадлежит шарниру стойки. Ее координаты:

$$X_D = X_O+l_{OD};\;Y_D=Y_O$$

Точка B двигается по дуге окружности относительно точки D. Для нахождения координат точки B введем дополнительный вектор DA и определим его длину \(h_3\) в зависимости от обобщенной координаты:

$$h_3(\varphi)=\sqrt{ (X_A(\varphi)-X_D)^2 +(Y_A(\varphi)-Y_D)^2 }$$

Определим угол \(\varphi_3\) между горизонталью и введенным вектором:

$$\cos\varphi_3(\varphi) = \frac{X_A(\varphi)-X_D}{h_3(\varphi)}\;\;\;\sin\varphi_3(\varphi) = \frac{Y_A(\varphi)-Y_D}{h_3(\varphi)}$$
$$\varphi_3(\varphi)= arctan\left(\cos\varphi_3(\varphi), \sin\varphi_3(\varphi))\right)$$

Тогда координаты точки B:

$$X_B=X_D+l_{DB}\cdot\cos(\varphi_3(\varphi))$$
$$Y_B=Y_D+l_{DB}\cdot\sin(\varphi_3(\varphi))$$

Точка С совершает возвратно-поступательное движение по вертикали, проходящей через точку D, поэтому:

$$X_C=X_D$$

Для определение координаты точки С по оси ординат вводим угол \(\varphi_4(\varphi)\) между горизонталью и прямой, проходящей через текущее положение шатуна:

$$\varphi_4(\varphi)=\pi+arccos\left(\frac{X_B(\varphi)-X_C}{l_{BC}}\right)$$

Тогда:

$$Y_C(\varphi)=Y_B(\varphi)+l_{BC}\cdot\sin(\varphi_4(\varphi))$$

Если точка С принадлежит твердому телу, и в исходных данных указан вылет резца, тогда координаты точки \(S_5\):

$$Y_{S_5}(\varphi)=Y_C(\varphi)\;\;\;X_{S_5}=X_C-l_{влт}$$

Функции положения всех точек положения описаны. Для их проверки необходимо построить кинематическую схему. Расчет проведенный в Mathcad 15 для четырехшарнирного механизма можно найти на странице калькулятора.